拉马努金公式（圆周率快速收敛）

拉马努金公式详解

印度数学天才拉马努金（Srinivasa Ramanujan）1914年提出的圆周率计算公式：

1/π = (2√2/9801) × Σ_{k=0}^∞ (4k)!(1103+26390k) / (k!⁴ × 396⁴ᵏ)

特点：收敛极快，每增加一项约增加8位十进制精度。k=0时即得π≈3.14159273（前7位正确）。

改进版：丘德诺夫斯基公式（Chudnovsky algorithm）是拉马努金公式的改进，每项约增加14位精度，被用于计算π的世界纪录。

意义：这类公式使计算机能快速计算π的数亿位小数，也展示了数学之美——拉马努金凭直觉发现了这些深邃的公式。

常见问题

Q：拉马努金公式为什么收敛这么快？

A：分母含396⁴ᵏ（约2.46亿的k次方），增长极快，导致项迅速衰减。396=4×99，与模形式理论有关。

Q：拉马努金是谁？

A：斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887-1920），印度数学家，没受过正规高等教育，却独立发现了数千个数学公式，被称为"直觉的天才"。

Q：现在用什么公式算π？

A：丘德诺夫斯基公式（拉马努金公式的改进版），配合FFT加速大数乘法，已算到π的100万亿位以上。